2<e<3の証明（eはネイピア数） - シャナアアアアの日記

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前回ネイピア数 $e$ が無理数であることを証明した時には $2＜e＜3$ が成立していることを前提にしましたが，今回はこの事実を証明します．最初に簡潔な証明を載せるので，理解できない部分は後述の詳しい証明で確認してください．

[証明（簡潔Ver.）]

（1） $2＜e$ を示す

eのマクローリン展開から， $e=1+1+\frac{1}{2}+・・・＞2$ である．

（2） $e＜3$ を示す．

$n\geq 3$ をみたす任意の整数nで， $\frac{1}{n!}＜\frac{1}{2^{n-1}}$ が成り立つことが数学的帰納法から示されるため，

$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+・・・+\frac{1}{n!}+・・・\\＜1+\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+・・・+\frac{1}{2^{n-1}}+・・・\\=3$

であるから， $e＜3$ である．

(1)(2)まとめて， $2＜e＜3$ が示された．

[証明（長いVer.）]

$e$ のマクローリン展開より，

$\displaystyle{ e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+・・・+\frac{1}{n!}+・・・\\=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}}$

である．

（1） $2＜e$ を示す

こっちは簡単です（というか上のマクローリン展開から明らかに成り立ちますが）．

一応証明すると， $e$ のマクローリン級数は，各項が正の正項級数であるから，

$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+・・・$

この級数は2より小さくなることはない（もっと強い意味では2.5よりも大きいということもわかる）．

つまり $e=1+1+\frac{1}{2}+・・・＞2$ である．

ゆえに $2＜e$ ．

（2） $e＜3$ を示す．

$\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+・・・+\frac{1}{n!}+・・・$

この式を， $＜$ の向きの不等式を使って，何らかの定数でおさえることを考える．

$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+・・・+\frac{1}{n!}+・・・\\＜1+\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+・・・+\frac{1}{2^{n-1}}+・・・$

がもしも成り立つならば，この不等式の最後（の式）は，

$1+(初項が1公比が\frac{1}{2}の無限等比級数)=3$

と考えられるので，eが3より小さいことを示すことができる．この不等式は $n!＞2^{n-1}$ ，つまり $\frac{1}{n!}＜\frac{1}{2^{n-1}}$ （ $n\geq 3$ ）が成り立つことが前提となっているため，これを証明する．今回は分数が入っていない $n!＞2^{n-1}$ の方を数学的帰納法により証明する（二つの式は $n\geq 3$ の下で同値であるからどちらを証明してもよい）．